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培养逆向思维 提高解题效率

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     逆向思维也叫求异思维,它与常规思维不同,逆向思维是反过来思考问题,是用绝大多数人没有想到的思维方式去思考问题.运用逆向思维去思考和处理问题,实际上就是以“出奇”去达到“制胜”.人们常常习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法.其实,对于某些问题,尤其是一些特殊问题,从结论往回推,倒过来思考,从求解回到已知条件,反过去想或许会使问题简单化,使解决它变得轻而易举.
         逆向思维作为一种重要的思维方式 ,历来受到人们的广泛重视 , 它在数学教学中的作用十分重要 ,它是当前素质教育中不可忽视的内容之一.在数学教学中 ,加强逆向思维的训练和培养 ,可以提高学生的解题效率,增强学生的创新意识.课堂教学结果表明:许多学生之所以处于低层次的学习水平,有一个重要因素,即逆向思维能力薄弱,定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用,缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神.因此,加强逆向思维的训练,可改变其思维结构,培养思维灵活性、深刻性和双向能力,提高分析问题和解决问题的能力.迅速而自然地从正面思维转到逆向思维的能力,正是数学能力增强的一种标志.因此,我们在数学教学中要结合教学实际,有意识地加强逆向思维的训练,引导和培养学生的逆向思维意识和习惯.我就初中数学教学中如何培养学生的逆向思维能力谈谈自己的看法.
         充分利用教材所提供的素材 ,培养学生逆向思维的意识和自觉性.数学中的许多概念存在着互逆关系 ,例如正负数的概念 ,指数与对数的概念等 ,还有许多的公式、法则、定理等都存在着互逆关系 ,这些都是培养学生逆向思维的好素材.因此 ,在概念、法则、定理等教学中 ,要根据教材本身所提供的潜在的可逆性 ,从正反、顺逆两方面去进行分析、比较 ,使学生深刻理解有关定义和法则 ,掌握其本质特征.同时 ,还要精选一些习题 ,有意识地加强逆向思维的训练.这样 ,非常有利于培养学生逆向思维的意识 ,以及解决问题的思维方法.重点从几个方面去说
           一、在概念教学中注意培养学生逆向思维
         数学概念、定义总是双向的,我们在平时的教学中,只秉承了从左到右的运用,于是形成了定性思维,对于逆用公式、法则等很不习惯.因此在概念的教学中,除了让学生理解概念本身及其常规应用外,还要善于引导启发学生反过来思考,从而加深对概念的理解与拓展.例如:讲述:“同类二次根式”时明确“化成最简二次根式后被开方数相同的几个二次根式是同类二次根式”.反过来,若两个二次根式是同类二次根式,则必须在化成最简二次根式后被开方数相同.例如:“互为余角”的定义教学中,可采用以下形式:∵∠A+∠B=90°,∴∠A、∠B互为余角(正向思维).∵∠A、∠B互为余角.∴∠A+∠B=90°(逆向思维).使学生把握住“互为余角”的实质:⑴∠A与∠B“互为余角”表示∠A是∠B的余角,∠B也是∠A的余角;⑵互余的定义规定是“两个角”,而不是一个角,也不是两个以上的角.因此,像“∠A是余角”.“∵∠1+∠2+∠3=90°,∴∠1、∠2、∠3互为余角”等说法都是错误的;⑶“互为余角”是两个角之间的 “数量关系”,它与两个角的位置无关.准确地掌握概念是学好数学的首要环节.当然,在平常的教学中,教师本身应明确哪些定理的逆命题是真命题,才能适时给学生以训练.
         二、重视公式、法则的逆运用    
         公式从左到右及从右到左,这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现.因此,当讲授完一个公式及其应用后,紧接着举一些公式的逆应用的例子,可以给学生一个完整的印象,开阔思维空间.在代数中公式的逆向应用比比皆是.如多项式的乘法公式的逆用用于因式分解、同底数幂的运算法则的逆用可轻而易举地帮助我们解答一些问题,如:计算(1) 22000×52001;(2)2m×4m×0.125m等,这组题目若正向思考不但繁琐复杂,甚至解答不了,灵活逆用所学的幂的运算法则,则会出奇制胜.故逆向思维可充分发挥学生的思考能力,提高解题效率,也可大大刺激学生学习数学的主观能动性与探索数学奥秘的兴趣.
        三、加强逆定理的教学
         每个定理都有它的逆命题,但逆命题不一定成立,经过证明后成立即为逆定理.逆命题是寻找新定理的重要途径.在平面几何中,许多的性质与判定都有逆定理.如:平行线的性质与判定,线段的垂直平分线的性质与判定,平行四边形的性质与判定,勾股定理与逆定理等,注意它的条件与结论的关系,加深对定理的理解和应用,重视逆定理的教学应用对开阔学生思维视野,活跃思维大有益处.例:△ABC中,a=2n+1, b=2n2+2n, c=2n2+2n+1(n>0),求证△ABC是直角三角形.
         分析 已知三边,欲证△ABC是直角三角形,可考虑用勾股定理的逆定理
         证明 ∵n>0
         ∴2n2+2n+1>2n2+2n>2n+1即c>b>a
         又∵a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2
         =4n4+8n3+8n2+4n+1
         c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1
         ∴a2+b2=c2
         根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形.
         四、在例题教学中培养逆向思维
        学生在解题时往往习惯于正向使用定律、法则、公式,因此容易形成消极的思维定势,从而使解题的思维受阻.我在讲解定律、法则、分式时,除安排正向应用的例题外,也常适当安排一些逆向思维的范例.
        如几何中的反证法,以及在应用题教学中,指导学生用“分析法”分析问题,用综合法解答问题也是逆向思维在教学中的应用等等.教师要培养学生的逆向思维,必须把握教材,注意发挥这方面范例的作用.
         另外,教师可以根据实际情况,在学生学有余力的情况下,适当补充一些逆向思维的范例.通过教材和自己补充的一些范例的学习,学生的逆向思维便会潜移默化地受到熏陶,同时也提高了学生分析问题、解决问题的能力.
         五、多用“逆向变式”训练,强化学生的逆向思维
         “逆向变式”即在一定的条件下,将已知和求证进行转化,变成一种与原题目似曾相似的新题型.例如:不解方程,请判断方程2x2-6x+3=0的根的情况.可变式为:已知关于x的方程2x2-6x+k=0,当K取何值时,方程有两个不相等的实数根?经常进行这些有针对性的“逆向变式”训练,创设问题情境,对逆向思维的形成起着很大作用.
         逆向思维的培养、训练也是一个持久的过程.我在安排练习时,总是精心设计好练习题,要为学生提供逆向思维的材料,设法通过不同层次的练习题对学生进行逆向思维训练.另外,还要多鼓励学生突破常规的思维方式,敢于想象,敢于标新立异.这些练习都活跃了学生的思维,有效地训练了学生的逆向思维.
         总之,培养学生的逆向思维能力,不仅提高了学生解题效率,更重要的是改善学生学习数学的思维方式,有助于形成良好的思维习惯,激发学生的创新开拓精神,培养良好的思维品性,提高学习效果、学习兴趣,及提高思维能力和整体素质.

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